Computing Disjoint Paths on Polytopes

The Holt-Klee Condition states that there exist at least d vertex-disjoint strictly monotone paths from the source to the sink of a polytopal digraph consisting of the set of vertices and arcs of a polytope P directed by a linear objective function in general position. Studying these paths has the potential to provide new insight into a long standing problem, that of designing a polynomial-time simplex method, or proving none exists. To study these paths it would be useful to have a tool to compute them. Without explicitly computing the digraph we develop an algorithm to compute a maximum cardinality set of source to sink paths in a polytope, even in the presence of degeneracy. The algorithm uses a combination of networks flows, the simplex method, and reverse search. An implementation is available. Experimental results show that the algorithm excels when the input has little or no degeneracy, and is especially memory-efficient when the polytope has many vertices. For example, we computed 10 disjoint paths on the polar of the cyclic polytope of dimension 10 with 50 facets storing only 199, 000 vertices while the polytope has 1, 357, 510 vertices. The median path length was 32 vertices. Further preliminary results show that the lengths of the disjoint paths are typically short. La Condition Holt-Klee déclare que là existent au moins d chemins distincts-de-sommets du entrée au sortie d’un graphe polytopal comprenant l’ensemble de sommets et le arêtes d’un polytope P dirigé par une fonction linéaire en position générale. Étudier ces chemins a le potentiel de fournir la nouvelle perspicacité dans un problème de longue date, celle de concevoir une méthode simplexe de temps polynomiale, ou en la preuve qu’aucune existe. Pour étudier ces chemins il serait utile d’avoir un outil pour les calculer. Sans calculer explicitement le graphe oriénté nous développons un algorithme pour calculer un ensemble de cardinalité maximal de chemins distincts d’entrée au sortie dans un polytope, même si l’éntrée est dégénéré. L’algorithme emploie une combinaison des flôts à travers un réseau, du méthode simplexe, et de recherche inversé. Une exécution est disponible. Les résultats expérimentaux montre que l’algorithme excelle quand l’entrée a peu ou pas de dégénérescence, et est particulièrement mémoire-efficace quand le polytope a beaucoup de sommets. Par exemple, nous avons calculé 10 chemins distincts sur le polaire du polytope cyclique de la dimension 10 avec 50 facettes gardant seulement 199, 000 sommets en mémoire tandis que le polytope a 1, 357, 510 sommets. La longueur de chemin médiane était 32 sommets. Encore d’autres résultats préliminaires montre que les longueurs des chemins distincts sont en général courtes. [email protected] [email protected]